推理规则

$+:\frac{\Gamma\vdash B}{\Gamma\cup\{A\}\vdash B}$

$-:\frac{\Gamma;A\vdash B,\Gamma;\neg A\vdash B}{\Gamma\vdash B}$

$\lor+:\frac{\Gamma\vdash A}{\Gamma\vdash A\lor B},\frac{\Gamma\vdash B}{\Gamma\vdash A\lor B}$

$\lor-:\frac{\Gamma;A\vdash C,\Gamma;B\vdash C,\Gamma\vdash A\lor B}{\Gamma\vdash C}$

$\land+:\frac{\Gamma\vdash A,\Gamma\vdash B}{\Gamma A\land B}$

$\land-:\frac{\Gamma\vdash A\land B}{\Gamma \vdash A},\frac{\Gamma\vdash A\land B}{\Gamma\vdash B}$

$\to+: \frac{\Gamma;A\vdash B}{\Gamma\vdash A\to B}$

$\to-:\frac{\Gamma\vdash A,\Gamma\vdash A\to B}{\Gamma\vdash B}$

$\neg+:\frac{\Gamma;A\vdash B,\Gamma;A\vdash \neg B}{\Gamma\vdash \neg A}$

$\neg-:\frac{\Gamma\vdash A,\Gamma\vdash \neg A}{\Gamma\vdash \textcolor{blue}B}$

From Hans

基本定理

下面这些定理的名字并非来自教材或其他可信来源，仅为本人为方便记忆而使用。

定理 1：否定析取

一个命题和它的否定相析取，得到的东西必然是真的。

$$ \vdash_{ND}A\vee\neg A $$

定理 2：析取化合取

$$ \vdash_{ND}\neg(A\vee B)\leftrightarrow\neg A\wedge\neg B $$

定理 3：合取化析取

$$ \vdash_{ND}\neg(A\wedge B)\leftrightarrow\neg A\vee\neg B $$

定理 4：蕴含化析取（1）

其实就是 $\to$ 的定义。

$$ \neg A\to B\vdash\!\dashv A\vee B $$

定理 5：蕴含化析取（2）

让蕴含式$A\to B$为真的条件：前件$A$是假的或者是后件$B$是真的

$$ A\to B\vdash\!\dashv\neg A\vee B $$

定理 6：分配律